比較多組不同變異數獨立樣本平均值檢定 (Welch's Test for Analysis of Variance，parametric)

套路 15: 比較多組不同變異數獨立樣本平均值檢定

(Welch's Test for Analysis of Variance，parametric)

什麼是比較多組不同變異數獨立樣本平均值檢定? 說白了就是多組分別獨立取樣的資料做比較的假設檢定。**注意** ”比較變異數” (comparing variances)和”變異數分析” (analysis of variance)不同。變異數分析是多組資料比較平均值。統計假設檢定檢定什麼?看H₀。例如多組獨立樣本假設檢定H₀ : μ₁ = μ₂ = … = μ_k，H_A : 至少有一組平均值不同，是檢定多組資料的平均值是否相同。假設相等時為雙尾 (two-tailed test) 檢定。

1. 使用時機: 用於比較多組不同變異數獨立樣本平均值(mean)。若自變項有一個，就是單因子變異數分析。

2. 分析類型: 母數(parametric)分析。直接使用資料數值算統計叫parametric方法，把資料排序之後用排序的名次算統計叫non-parametric方法。

3. 前提假設: 使用母數(parametric)分析時，資料須為常態分布(normal distribution)。多組資料不同變異數使用Welch's Test for Analysis of Variance。

4. 範例資料: 咪路調查土壤鈣離子濃度(mg/100 mg soil)，資料如下：

土樣1	土樣2	土樣3
17.8	28.5	30.5
17.3	28.8	33.8
16.1	29.4	31.5
24.2	28.5	32.1
25.3	28.3	29.9
25.7	28.4	29.6

H₀: m₁ = m₂ = m₃。 H_A: 不同土壤樣本鈣離子濃度不完全相同。

5. 畫圖看資料分布:

wt = [17.8,17.3,16.1,24.2,25.3,25.7,28.5,28.8,29.4,28.5,28.3,28.4,30.5,33.8,31.5,32.1,29.9,29.6]

cl = ["S1","S1","S1","S1","S1","S1","S2","S2","S2","S2","S2","S2","S3","S3","S3","S3","S3","S3"]

dat = {'Conc':wt,'Soil':cl}

import pandas as pd

df = pd.DataFrame(dat)

import seaborn as sns

sns.set(style="whitegrid")

ax = sns.boxplot(x = "Soil", y = "Conc", data = df, width=0.2, palette="Set3")

ax = sns.swarmplot(x = "Soil", y = "Conc", data = df, color = "red")

結果:

6. 檢查資料是否為常態分布 (H₀:資料為常態分佈):

dat1 = [17.8,17.3,16.1,24.2,25.3,25.7]

dat2 = [28.5,28.8,29.4,28.5,28.3,28.4]

dat3 = [30.5,33.8,31.5,32.1,29.9,29.6]

import scipy.stats

scipy.stats.shapiro(dat1)

結果: (0.8173024654388428, 0.0836217924952507)

p = 0.0836 > 0.05，接受H₀:資料為常態分佈。

scipy.stats.shapiro(dat2)

結果: (0.8241334557533264, 0.0957956612110138)

p = 0.0957 > 0.05，接受H₀:資料為常態分佈。

scipy.stats.shapiro(dat3)

結果: (0.9362186789512634, 0.6289042234420776)

p = 0.6289 > 0.05，接受H₀:資料為常態分佈。

7. 檢查資料是否為相同變異數 (H₀: s₁² = s₂² = s₃²):

方法: Levene test for equal variances (parametric test)

dat1 = [17.8,17.3,16.1,24.2,25.3,25.7]

dat2 = [28.5,28.8,29.4,28.5,28.3,28.4]

dat3 = [30.5,33.8,31.5,32.1,29.9,29.6]

import scipy.stats

scipy.stats.levene(dat1, dat2, dat3, center = 'mean')

結果: LeveneResult(statistic=53.10491367861894, pvalue=1.5636901412229339e-07)

p = 1.5637e-7 < 0.05，不接受H₀: s₁² = s₂² = s₃²。

# 相同變異數表示樣本來自相同母體(population)，不同變異數表示樣本取樣自不同母體。

8. 使用Python計算多組不同變異數獨立樣本Welch's Test for Analysis of Variance:

方法: 使用pingouin (welch_anova)

conda install -c conda-forge pingouin   # 安裝pingouin

# 安裝成功之後執行下列程式

wt = [17.8,17.3,16.1,24.2,25.3,25.7,28.5,28.8,29.4,28.5,28.3,28.4,30.5,33.8,31.5,32.1,29.9,29.6]

cl = ["S1","S1","S1","S1","S1","S1","S2","S2","S2","S2","S2","S2","S3","S3","S3","S3","S3","S3"]

dat = {'Conc':wt,'Soil':cl}

import pandas as pd

df = pd.DataFrame(dat)

from pingouin import welch_anova

welch_anova(dv='Conc', between='Soil', data = df)

結果:

  Source  ddof1  ddof2       F     p-unc

0   Soil      2  7.127  15.195  0.002688

p = 2.688e-3 < 0.05，不接受H₀: μ₁ = μ₂ = μ₃，不同土壤樣本鈣離子濃度不完全相同。

土壤樣本鈣離子濃度不同是誰跟誰有差呢?要進一步做multiple comparison (Tukey HSD):

from statsmodels.stats.multicomp import pairwise_tukeyhsd

from statsmodels.stats.multicomp import MultiComparison

mc = MultiComparison(df['Conc'], df['Soil'])

tkresult = mc.tukeyhsd()

print(tkresult)

結果如下表:

Multiple Comparison of Means - Tukey HSD, FWER=0.05

====================================================

group1 group2 meandiff p-adj   lower   upper  reject

----------------------------------------------------

    S1     S2   7.5833  0.001  3.4882 11.6785   True (有差)

    S1     S3  10.1667  0.001  6.0715 14.2618   True (有差)

    S2     S3   2.5833 0.2609 -1.5118  6.6785  False (沒差)

----------------------------------------------------